Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$; $N$, $P$ lần lượt là điểm thuộc cạnh $AC$, $BD$ sao cho $AN=2NC$, $BD=3PD$.

a) Tìm giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$.

b) Gọi $Q$ là giao điểm của $CD$ với $(MNP)$. Tính tỉ số $\frac{QC}{QD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $\vec{A}=\vec{0}$, đặt $\vec{b}=\overrightarrow{AB},\vec{c}=\overrightarrow{AC},\vec{d}=\overrightarrow{AD}$.

Ta có:
- $M$ trung điểm $AB$: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\vec{b}$.
- $AN=2NC\Rightarrow \overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\vec{c}$.
- $BD=3PD\Rightarrow BP=2PD\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{d}$.

**a) Tìm giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$.**

Trong mặt phẳng $(ABC)$, gọi $E=MN\cap BC$. Điểm trên đường thẳng $MN$ có dạng
$$\overrightarrow{AE}=(1-t)\cdot \frac{1}{2}\vec{b}+t\cdot \frac{2}{3}\vec{c}.$$
Để $E\in BC$ thì tổng hệ số của $\vec{b},\vec{c}$ bằng 1:
$$\frac{1}{2}(1-t)+\frac{2}{3}t=1\Rightarrow \frac{1}{2}+\frac{t}{6}=1\Rightarrow t=3.$$
Suy ra $\overrightarrow{AE}=-\vec{b}+2\vec{c}$, tức $E$ thuộc tia đối tia $CB$ và $C$ là trung điểm của $BE$ (vì $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}$).

Vì $E\in BC\subset (BCD)$, $P\in BD\subset (BCD)$ và $E,P\in (MNP)$, nên giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $EP$, với $E=MN\cap BC$ và $C$ là trung điểm $BE$.

**b) Tính $\frac{QC}{QD}$.**

$Q=CD\cap (MNP)$ nên $Q\in EP$. Điểm trên đường thẳng $EP$:
$$\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AE}+\lambda (\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AE})=\left(-1+\frac{4\lambda }{3}\right)\vec{b}+(2-2\lambda )\vec{c}+\frac{2\lambda }{3}\vec{d}.$$
Để $Q\in CD$ thì hệ số của $\vec{b}$ bằng 0: $-1+\frac{4\lambda }{3}=0\Rightarrow \lambda =\frac{3}{4}$.
Khi đó hệ số của $\vec{c}$ là $2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$ và hệ số của $\vec{d}$ là $\frac{1}{2}$, tức
$$\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{2}\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{d}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}).$$
Vậy $Q$ là trung điểm của $CD$, suy ra $\frac{QC}{QD}=1$.

Kiểm tra lại: các hệ số vectơ đều thỏa mãn, kết quả $Q$ là trung điểm $CD$ nên tỉ số bằng 1, hoàn toàn nhất quán.