Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x$ là $x_0=\frac{m}{n}\pi$ (với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Tính giá trị của biểu thức $m+2n$.

Cho hai đồ thị hàm số $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ và $y=\sin x$, khi đó:

a) Giải phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=-\sin 3x$.

b) Một vận động viên bắn súng nằm trên mặt đất để găm bắn các mục tiêu khác nhau trên một bức tường thẳng đứng. Vận động viên bắn trúng một mục tiêu cách mặt đất $25(m)$ tại một góc ngắm (góc hợp bởi phương ngắm với phương ngang). Nếu giảm góc ngắm đi một nửa thì vận động viên bắn trúng mục tiêu cách mặt đất $10(m)$. Tính khoảng cách từ vận động viên đến bức tường?

Câu 2. (3 điểm)
1. Giải phương trình: $\sqrt{3}\sin x-\cos x=2\sin 3x$.
2. Giải bất phương trình: ${\log }_3\frac{x^2+x+3}{2x^2+4x+5}>x^2+3x+2$.

Góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $3\cos 2\alpha +\sin \alpha -2=0$. Khi đó với $\sin \alpha =\frac{m}{n}<0$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính $m+n$.

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $5\left(\frac{\sin x+\sin 3x}{2\sin 2x}\right)=\cos 2x+3$ trên khoảng $(0;4\pi )$.

Giải phương trình $\sin 2x-\sin x=0$.