Cho tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc. Gọi $M$ là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{M{A}^2}{O{A}^2}+\frac{M{B}^2}{O{B}^2}+\frac{M{C}^2}{O{C}^2}$.

Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong không gian $Oxyz$ với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng 1m, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Trên đoạn thẳng $AC$ và $D{C}^{\prime }$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $MN$ song song với $B{D}^{\prime }$. Biết $B{D}^{\prime }=6cm$, tính độ dài đoạn thẳng $MN$ theo cm.

Một tháp chiếu sáng có dạng hình chóp đều $S.ABCD$, trong đó phần đáy $ABCD$ là một hình vuông làm bằng kim loại có cạnh bằng $2m$, đỉnh tháp $S$ là vị trí gắn bóng đèn chiếu sáng chính, chiều cao của tháp là $4m$. Để điều chỉnh hướng ánh sáng, người kĩ sư đặt hai cảm biến ánh sáng tại vị trí $M$ trên đoạn $BD$ và vị trí $N$ trên đoạn $SC$ sao cho dây truyền tín hiệu nối giữa hai cảm biến tại $M$ và $N$ có độ dài ngắn nhất (độ dài dây truyền tín hiệu bằng đúng độ dài $MN$). Khoảng cách từ $S$ đến trung điểm $MN$ gần nhất với giá trị nào dưới đây

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AD=2AB=2\sqrt{2}$, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=4$. Gọi $M$, $N$ là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BM}=x\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{SN}=y\overrightarrow{SC}$ và độ dài đoạn $MN$ nhỏ nhất. Giá trị của $5x+4y$ bằng

Một kỹ sư thiết kế mô hình trang trí cho một sân khấu nổi có dạng hình lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ với độ dài các cạnh bằng 5 m. Để tạo ra nét độc đáo cho sân khấu, người kỹ sư muốn thiết kế một dàn đèn ánh sáng nối từ một điểm $M$ trên đoạn thẳng $A{D}_1$ xuống một điểm $N$ trên đoạn thẳng $BD$ thỏa mãn $AM=DN$. Dàn đèn ánh sáng có chiều dài ngắn nhất là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=a$ và $A{A}^{\prime }=2a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime },A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BC$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).