Một vận động viên bắn súng nằm trên mặt đất ở vị trí $A$ để ngắm các mục tiêu khác nhau trên một bức tường thẳng đứng. Vận động viên bắn trúng mục tiêu $B$ cách mặt đất $3m$ tại góc ngắm ${\alpha }^o$ (góc hợp bởi phương bắn với phương ngang). Nếu tăng thêm góc ngắm đó $30^o$ thì vận động viên bắn trúng mục tiêu $C$ cách mặt đất $15m$ (hình vẽ minh hoạ). Khi đó khoảng cách từ vận động viên đến bức tường lớn nhất bằng bao nhiêu $m$ (làm tròn đến hàng phần chục)

Một chiếc tháp có phần dưới dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông có cạnh dài 4 m, chiều cao của hình hộp chữ nhật là 10 m. Phần trên tháp có dạng hình chóp tứ giác đều, các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh (hình vẽ). Mỗi cạnh bên của hình chóp dài 6 m. Tính chiều cao của tháp (Đơn vị: mét và làm tròn đến hàng phần chục).

Giả sử $CD=h$ là chiều cao của tháp trong đó $C$ là chân tháp. Chọn hai điểm $A$, $B$ trên mặt đất sao cho ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng. Ta đo được $AB=24m$, $\widehat{CAD}=63^0$; $\widehat{CBD}=48^0$.

Giả sử $CD=h$ là chiều cao của tháp trong đó $C$ là chân tháp. Chọn hai điểm $A$, $B$ trên mặt đất sao cho ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng. Ta đo được $AB=24m$, $\widehat{CAD}=63^0$; $\widehat{CBD}=48^0$.

Để tránh vùng bị sạt lở do ảnh hưởng của bão Yagi. Người dân xã $A$ đi đến xã $D$ phải đi qua xã $B$, $C$ như hình mô tả



Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở cho người dân, chính quyền địa phương dự định làm đường xuyên núi nối xã $A$ và xã $D$. Hỏi độ dài đường xuyên qua núi giảm bao nhiêu $km$ so với đường cũ đi qua 2 xã $B$, $C$? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Để tính khoảng cách giữa hai đỉnh núi $P$ và $Q$, người ta xác định hai vị trí $A$ và $B$ trên mặt đất cách nhau một khoảng $AB=1km$. Từ vị trí điểm $A$ đo được góc ngắm tới hai đỉnh núi $P$ và $Q$ so với phương nằm ngang lần lượt là $60^0$ và $35^0$. Từ vị trí điểm $B$ đo được góc ngắm tới hai đỉnh núi $P$ và $Q$ so với phương nằm ngang lần lượt là $40^0$ và $25^0$.

a) Tính góc $BAP$, từ đó tính khoảng cách $BP$.

b) Khoảng cách giữa hai đỉnh núi $P$ và $Q$ là bao nhiêu kilomet? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Để đo chiều cao tòa tháp, người ta dùng dụng cụ đo góc có chiều cao 1,3 m đặt tại hai vị trí trên mặt đất cách nhau một khoảng $AB=20$ m. Tại vị trí A và B, góc đo thu được so với phương ngang lần lượt là 65° và 55°. Tính chiều cao của tòa tháp (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).