Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $I$ là điểm nằm trên cạnh $SC$ sao cho $SI=\frac{1}{4}SC$. Một mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $AI$, song song với $BD$ và cắt cạnh $SD$ tại $K$. Tính $\frac{S_{△SIK}}{S_{△SCD}}$.

Cho hình tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng 6. Điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $AM=\frac{1}{3}AB$ (tham khảo hình vẽ). Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua điểm $M$, song song với hai đường thẳng $BC$ và $AD$. Giả sử $(\alpha )$ cắt đường thẳng $CD$ tại điểm $N$. Khi đó, độ dài đoạn thẳng $CN$ bằng

Một kệ để đồ bằng gỗ có mâm tầng dưới $(ABCD)$ và mâm tầng trên $(EFGH)$ song song với nhau. Bác thợ mộc đo được $AE=100cm,CG=120cm$ và muốn đóng thêm một mâm tầng giữa $(IJKL)$ song song với hai mâm tầng trên và dưới sao cho khoảng cách $EI=40cm$. Bác thợ mộc tính toán rằng với $GK=a(cm)$ thì mâm tầng giữa của kệ để đồ đúng vị trí. Tìm $a$?

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=6$ và $CD=8$. Mặt phẳng $(\alpha )$ song song với hai đường thẳng $AB,CD$ và cắt các cạnh $AC,CB,BD,DA$ lần lượt tại $M,N,P,Q$. Biết tứ giác $MNPQ$ là hình thoi, độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng bao nhiêu?

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Trên cạnh $BD$ lấy điểm $P$ sao cho $BP=2DP$. Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(MNP)$. Tính $\frac{FA}{FD}$.

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Trên cạnh $BD$ lấy điểm $P$ sao cho $BP=2DP$. Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(MNP)$. Tính $\frac{FD}{FA}$.

Một kệ để đồ bằng gỗ có mâm tầng dưới là tứ giác $ABCD$ và mâm tầng trên là tứ giác $EFGH$. Biết mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng $(EFGH)$. Bác thợ mộc đo được $AE=90cm$, $CG=100cm$ và muốn đóng thêm một mâm tầng giữa là tứ giác $IJKL$ sao cho mặt phẳng $(IJKL)$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$ và khoảng cách $EI=54cm$ (tham khảo hình vẽ minh họa bên dưới). Em hãy giúp bác thợ tính độ dài đoạn $GK$ (theo đơn vị $cm$) để đặt mâm tầng giữa cho đúng vị trí.