Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Trên cạnh $BD$ lấy điểm $P$ sao cho $BP=2DP$. Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(MNP)$. Tính $\frac{FD}{FA}$.

Một kệ để đồ bằng gỗ có mâm tầng dưới là tứ giác $ABCD$ và mâm tầng trên là tứ giác $EFGH$. Biết mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng $(EFGH)$. Bác thợ mộc đo được $AE=90cm$, $CG=100cm$ và muốn đóng thêm một mâm tầng giữa là tứ giác $IJKL$ sao cho mặt phẳng $(IJKL)$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$ và khoảng cách $EI=54cm$ (tham khảo hình vẽ minh họa bên dưới). Em hãy giúp bác thợ tính độ dài đoạn $GK$ (theo đơn vị $cm$) để đặt mâm tầng giữa cho đúng vị trí.

Một kệ để đồ bằng gỗ có mâm tầng dưới là tứ giác $ABCD$ và mâm tầng trên là tứ giác $EFGH$. Biết mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng $(EFGH)$. Bác thợ mộc đo được $AE=90cm$, $CG=100cm$ và muốn đóng thêm một mâm tầng giữa là tứ giác $IJKL$ sao cho mặt phẳng $(IJKL)$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$ và khoảng cách $EI=54cm$ (tham khảo hình vẽ minh họa bên dưới). Em hãy giúp bác thợ tính độ dài đoạn $GK$ (theo đơn vị cm) để đặt mâm tầng giữa cho đúng vị trí.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $Q$ là trung điểm $DC$. $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$. Điểm $N$ thuộc đoạn thẳng $AC$ sao cho $NG//(SAB)$. Tính $\frac{NC}{NA}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$ và $P$ là điểm trên $SO$ sao cho $SO=3SP$. Gọi $H$ là giao điểm của $SC$ với $(MNP)$. Biết tỉ số $\frac{SH}{SC}=\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a.b$?

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $M$, $N$, $P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ sao cho $AM=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }$, $BN=\frac{1}{3}B{B}^{\prime }$, $C^{\prime }P=\frac{3}{4}C{C}^{\prime }$. Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $D{D}^{\prime }$. Khi đó tỉ số $\frac{D^{\prime }Q}{D{D}^{\prime }}$ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình thang $AB\parallel CD$, $AB=2CD$. Gọi $(P)$ là một mặt phẳng tùy ý không đi qua $S$ và cắt các cạnh $SA,SB,SC,SD$ lần lượt tại các điểm $M,N,P,Q$ thỏa mãn $\overrightarrow{SA}=2\overrightarrow{SM}$, $\overrightarrow{SC}=5\overrightarrow{SP}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=2{\left(\frac{SB}{SN}\right)}^2+{\left(\frac{SD}{SQ}\right)}^2$.