Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang đáy lớn $DC$. Gọi $M$ là trọng tâm tam giác $SCD$, $HK(H\in SD,K\in SC)$ đi qua $M$ song song với $DC$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Hai đường thẳng $SA$ và $CD$ là hai đường thẳng cắt nhau.

b) Tứ giác $ABKH$ là hình bình hành khi và chỉ khi $DC=\frac{3}{2}AB$.

c) Mặt phẳng $(MAB)$ giao $(SCD)$ theo giao tuyến $HK$.

d) Mặt phẳng $(SAC)$ giao $(SBD)$ theo giao tuyến $SO$ với O là giao điểm của AC và BD.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAD)$, còn $CD$ nằm trong $(SCD)$; $A\notin (SCD)$ nên $SA$ và $CD$ không đồng phẳng, chúng là hai đường thẳng chéo nhau chứ không cắt nhau.

b) Đúng: Trong tam giác $SCD$, đường thẳng qua trọng tâm $M$ song song với $DC$ cắt $SD,SC$ tại $H,K$ với $\frac{SH}{SD}=\frac{SK}{SC}=\frac{2}{3}$, suy ra $HK=\frac{2}{3}DC$. Vì đáy là hình thang nên $AB\parallel DC\parallel HK$, do đó $ABKH$ là hình bình hành khi và chỉ khi $HK=AB$, tức $\frac{2}{3}DC=AB\iff DC=\frac{3}{2}AB$.

c) Đúng: $M\in HK\subset (SCD)$ và $M\in (MAB)$ nên $M$ thuộc giao tuyến. Vì $AB\parallel DC$ nên $AB\parallel (SCD)$, giao tuyến của $(MAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $M$ song song với $AB$, chính là $HK$.

d) Đúng: $(SAC)$ chứa $S,A,C$; $(SBD)$ chứa $S,B,D$. Cả hai mặt phẳng đều chứa $S$, và $O=AC\cap BD$ thuộc cả hai mặt phẳng, nên giao tuyến là $SO$. Khớp với đáp án mã đề 112: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA$ và $CD$ không đồng phẳng (chéo nhau), không cắt nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$HK=\frac{2}{3}DC\parallel AB$; $ABKH$ là hình bình hành $\iff HK=AB\iff DC=\frac{3}{2}AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M$ chung, $AB\parallel (SCD)$ nên giao tuyến qua $M$ song song $AB$, là $HK$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai mặt phẳng chứa $S$ và $O=AC\cap BD$, giao tuyến là $SO$.