Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CB,CD$ và $G$ là trọng tâm của $△SBD$. Biết $H$ là giao điểm của đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(GMN)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $S$ là đỉnh của hình chóp, không thuộc mặt đáy $(ABCD)$.

b) Đúng: $O=AC\cap BD$ nên $O$ thuộc cả $(SAC)$ (vì $O\in AC$) và $(SBD)$ (vì $O\in BD$); hai mặt phẳng lại có điểm chung $S$, do đó giao tuyến là $SO$.

c) Đúng: $MN$ là đường trung bình của $△CBD$ nên $MN\parallel BD$. Vì $BD$ cắt $(SAC)$ tại $O$ nên $MN$ không song song với $(SAC)$ và cắt $(SAC)$ tại điểm $P$. Kiểm chứng bằng vectơ với gốc $A$, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$: $\overrightarrow{AM}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{d}$, $\overrightarrow{AN}=\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{b}$. Điểm $P\in MN$ có dạng $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+t(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM})=\left(1-\frac{t}{2}\right)\vec{b}+\left(\frac{1}{2}+\frac{t}{2}\right)\vec{d}$. Để $P\in (SAC)$, cần $\overrightarrow{AP}=\lambda (\vec{b}+\vec{d})$, suy ra $1-\frac{t}{2}=\frac{1}{2}+\frac{t}{2}\Rightarrow t=\frac{1}{2},\lambda =\frac{3}{4}$. Vậy $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}(\vec{b}+\vec{d})$. Mà $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{d})$, $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$, nên $\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AC}}{2}$, tức $P$ là trung điểm của $OC$.

d) Sai: Chọn $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Khi đó $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$, $\overrightarrow{AM}=\vec{b}+\frac{\vec{d}}{2}$, $\overrightarrow{AN}=\vec{d}+\frac{\vec{b}}{2}$. Vì $H\in (GMN)$ nên $\overrightarrow{AH}=\alpha \overrightarrow{AG}+\beta \overrightarrow{AM}+\gamma \overrightarrow{AN}$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$; vì $H\in SA$ nên $\overrightarrow{AH}=t\vec{s}$. So sánh hệ số theo $\vec{b}$ và $\vec{d}$: do đối xứng $\beta =\gamma$, và $\frac{\alpha }{3}+\frac{3\beta }{2}=0\Rightarrow \beta =-\frac{2\alpha }{9}$. Kết hợp $\alpha +\beta +\gamma =1$ được $\frac{5\alpha }{9}=1\Rightarrow \alpha =\frac{9}{5},\beta =\gamma =-\frac{2}{9}$. Suy ra $t=\frac{\alpha }{3}=\frac{3}{5}$, tức $\frac{AH}{AS}=\frac{3}{5}$ và $\frac{SH}{SA}=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}\ne \frac{3}{7}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $S$ là đỉnh của hình chóp nên $S\notin (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $O=AC\cap BD$ thuộc cả $(SAC)$ và $(SBD)$, cộng với $S$ chung nên giao tuyến là $SO$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $MN$ là đường trung bình của $△CBD$ nên $MN\parallel BD$; vì $BD$ cắt $(SAC)$ tại $O$ nên $MN$ cắt $(SAC)$ tại điểm $P$. Bằng vectơ (gốc $A$, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$) tính được $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}(\vec{b}+\vec{d})=\frac{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AC}}{2}$, tức $P$ là trung điểm của $OC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$: $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$, $\overrightarrow{AM}=\vec{b}+\frac{\vec{d}}{2}$, $\overrightarrow{AN}=\vec{d}+\frac{\vec{b}}{2}$. Viết $\overrightarrow{AH}=\alpha \overrightarrow{AG}+\beta \overrightarrow{AM}+\gamma \overrightarrow{AN}=t\vec{s}$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$; do đối xứng $\beta =\gamma$, giải hệ được $\alpha =\frac{9}{5}$, $\beta =\gamma =-\frac{2}{9}$, $t=\frac{3}{5}$. Vậy $\frac{AH}{AS}=\frac{3}{5}$ nên $\frac{SH}{SA}=\frac{2}{5}\ne \frac{3}{7}$.