Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $K,L$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ và $N$ là điểm trên cạnh $CD$ sao cho $CN=3ND$. Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(KLN)$. Tính tỉ số $\frac{PA}{PD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(2;2;0)$, $D(0;0;2)$. Khi đó $K(1;0;0)$, $L(2;1;0)$, và $N$ trên $CD$ với $CN=3ND$ tức $N$ chia $CD$ theo tỉ số $\frac{CN}{ND}=3$: $N=C+\frac{3}{4}(D-C)=(0,5;0,5;1,5)$.

Vectơ $\overrightarrow{KL}=(1;1;0)$, $\overrightarrow{KN}=(-0,5;0,5;1,5)$, nên vectơ pháp tuyến của $(KLN)$ là $\vec{n}=\overrightarrow{KL}\times \overrightarrow{KN}=(1,5;-1,5;1)$, tức có thể lấy $\vec{n}=(3;-3;2)$.

Mặt phẳng $(KLN)$: $3(x-1)-3y+2z=0\iff 3x-3y+2z=3$.

Điểm $P$ trên đường thẳng $AD$ có dạng $P=(0;0;t)$. Thay vào phương trình mặt phẳng: $2t=3\Rightarrow t=\frac{3}{2}$.

Vậy $P$ là trung điểm của $AD$, suy ra $\frac{PA}{PD}=1$.