Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng 3. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$. Gọi $K$ là một điểm trên cạnh $BD$ với $KB=2KD$. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $(IJK)$. Tính diện tích thiết diện *(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*

(AI giải đề cho tôi)
Thiết diện: Vì $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $IJ\parallel AB$. Trong mặt phẳng $(ABD)$, qua $K$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AD$ tại $L$. Khi đó thiết diện là hình thang $IJKL$ với $IJ\parallel KL$.

Tọa hóa: $B=(0;0;0)$, $C=(3;0;0)$, $A=\left(\frac{3}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2};0\right)$, $D=\left(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};\sqrt{6}\right)$ (tâm mặt đáy là trọng tâm tam giác $ABC$, chiều cao $\sqrt{6}$).

- $I=\left(\frac{9}{4};\frac{3\sqrt{3}}{4};0\right)$, $J=\left(\frac{3}{2};0;0\right)$, $K=\frac{2}{3}D=\left(1;\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$.
- Đường qua $K$ song song $AB$: giải $L=A+t(D-A)=K+\lambda A$ cho $t=\frac{2}{3}$, $\lambda =\frac{1}{3}$, tức $AL:LD=2:1$, $L=\left(\frac{3}{2};\frac{5\sqrt{3}}{6};\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$.

Độ dài: $IJ=\frac{AB}{2}=\frac{3}{2}$; $KL=\frac{1}{3}AB=1$; $JK=IL=\frac{\sqrt{13}}{2}$ (hình thang cân).

Chiều cao hình thang = khoảng cách từ $K$ đến đường thẳng $IJ$: tính tích có hướng $\frac{|\vec{d}\times \overrightarrow{KI}|}{|\vec{d}|}$ với $\vec{d}=\overrightarrow{IJ}$ cho kết quả $\frac{\sqrt{51}}{4}$.

Diện tích thiết diện: $S=\frac{IJ+KL}{2}\cdot h=\frac{5}{2}\cdot \frac{\sqrt{51}}{4}=\frac{5\sqrt{51}}{16}\approx 2,2317\approx 2,23$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn 2,23.