Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $SB$, $BC$ và $SD$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $M,P$ lần lượt là trung điểm $SB$, $SD$ nên $MP$ là đường trung bình của tam giác $SBD$, suy ra $MP\parallel BD$. Đường thẳng $SC$ nằm trong mặt phẳng $(SBC)$ và cắt mặt phẳng $(ABCD)$ tại $C$, mà $C$ không thuộc $BD$, nên $SC$ và $BD$ chéo nhau; do đó $MP$ và $SC$ chéo nhau (không cắt nhau).
b) Đúng: $(SAB)$ và $(SAC)$ có chung hai điểm $S,A$ phân biệt, nên giao tuyến là đường thẳng $SA$.
c) Đúng: Trong tam giác $SBC$, $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel SC$; trong tam giác $SCD$, $NP$ là đường trung bình nên $NP\parallel CD$. Mặt khác $MP\parallel BD$ (đường trung bình tam giác $SBD$). Mặt phẳng $(MNP)$ chứa đường thẳng $MP\parallel BD$, trong khi $BD$ nằm trong $(ABCD)$; $N$ thuộc cả $(MNP)$ (vì $N\in NP$) và thuộc $(ABCD)$. Vậy giao tuyến của $(MNP)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng qua $N$ và song song với $BD$.
d) Đúng: Dùng tọa độ, lấy $S$ làm gốc, đặt vectơ $\overrightarrow{SA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{SB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{SC}=\vec{c}$; vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{SD}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$. Khi đó $M=\vec{b}/2$, $N=(\vec{b}+\vec{c})/2$, $P=(\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})/2$. Điểm $K$ trên $SA$ có dạng $K=t\cdot \vec{a}$ và $K$ thuộc $(MNP)$: $t\cdot \vec{a}=\alpha \cdot (\vec{b}/2)+\beta \cdot (\vec{b}+\vec{c})/2+\gamma \cdot (\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})/2$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$. So sánh hệ số: hệ số của $\vec{c}$ cho $\beta +\gamma =0\Rightarrow \beta =-\gamma$; hệ số của $\vec{b}$ cho $\alpha +\beta -\gamma =0\Rightarrow \alpha =2\gamma$; hệ số của $\vec{a}$ cho $t=\gamma /2$. Từ $\alpha +\beta +\gamma =2\gamma -\gamma +\gamma =2\gamma =1\Rightarrow \gamma =1/2$, suy ra $t=1/4$. Vậy $SK/SA=1/4$. Kết quả khớp đáp án nguồn SDDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MP$ là đường trung bình tam giác $SBD$ nên $MP\parallel BD$; $SC$ và $BD$ chéo nhau ($SC$ cắt $(ABCD)$ tại $C$ không thuộc $BD$), do đó $MP$ và $SC$ chéo nhau, không cắt nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ có chung hai điểm phân biệt $S,A$ nên giao tuyến là $SA$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$MN\parallel SC$, $NP\parallel CD$, $MP\parallel BD$; $N$ thuộc cả hai mặt phẳng, nên giao tuyến là đường thẳng qua $N$ song song với $BD$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ với $S$ gốc, $\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}$. Giải hệ biểu diễn $K=t\cdot \overrightarrow{SA}$ qua $M,N,P$ với tổng hệ số bằng $1$ được $t=1/4$, tức $SK/SA=1/4$.