Anh Long có kệ sách cũ hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và anh muốn cải tạo thành kệ sách như hình vẽ minh họa. Anh tiến hành làm như sau: nối dài $A{A}^{\prime }$ một đoạn $A^{\prime }H$, $A^{\prime }H=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }$, từ $H$ anh dựng mặt phẳng $(\alpha )$ song song với mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ cắt các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$ lần lượt tại các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ và từ đó cắt đi phần thừa. Diện tích của tứ giác $MNPQ$ bằng bao nhiêu $m^2$, biết $△A^{\prime }BC$ là tam giác đều có cạnh bằng $1m$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(\alpha )\parallel (A^{\prime }BC)$ đi qua $H$ với $A^{\prime }H=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }$, mặt phẳng $(\alpha )$ cắt các cạnh bên của lăng trụ tại các điểm có cùng tham số $t=\frac{1}{2}$ theo phương cạnh bên. Do đó $M,Q$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime },A^{\prime }{C}^{\prime }$; $N,P$ là trung điểm của $B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$. Chiếu theo phương cạnh bên về mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$: $MQ\parallel BC$ với $MQ=\frac{1}{2}{B}^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{1}{2}$; $NP\parallel BC$ với $NP=BC=1$; $MN$ là đường trung bình tam giác $A^{\prime }B{B}^{\prime }$ nên $MN=\frac{1}{2}{A}^{\prime }B=\frac{1}{2}$; tương tự $PQ=\frac{1}{2}{A}^{\prime }C=\frac{1}{2}$. Vậy $MNPQ$ là hình thang cân với hai đáy $MQ=\frac{1}{2}$, $NP=1$ và hai cạnh bên bằng $\frac{1}{2}$. Đường cao của hình thang: $h=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1-1/2}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$. Diện tích: $S=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+1\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{16}\approx 0.3248\approx 0.32m^2$. Kiểm tra lại bằng tích có hướng hai đường chéo: $\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{NQ}$ có độ lớn $\frac{3\sqrt{3}}{8}$, suy ra $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{3\sqrt{3}}{16}\approx 0.32$, khớp với đáp án nguồn 0.32.