Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AD,BC$ và $C{C}^{\prime }$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $A^{\prime }(0;0;1)$, $B^{\prime }(1;0;1)$, $C^{\prime }(1;1;1)$, $D^{\prime }(0;1;1)$. Khi đó $M(0;0,5;0)$, $N(1;0,5;0)$, $P(1;1;0,5)$.
a) Đúng. $MN$ là đường trung bình của $ABCD$ nên $MN\parallel AB\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$; $NP$ là đường trung bình tam giác $BC{C}^{\prime }$ nên $NP\parallel B{C}^{\prime }$. Hai đường $MN,NP$ cắt nhau tại $N$ và lần lượt song song với $D^{\prime }{C}^{\prime },B{C}^{\prime }$ cùng nằm trong mặt phẳng $(B{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, do đó $(MNP)\parallel (B{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.
b) Đúng. $MN\parallel AB$ và $AB\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$ (tính chất hình hộp) nên $MN\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$.
c) Sai. Đường thẳng $NP$ đi qua $N(1;0,5;0)$ có vectơ chỉ phương $(0;1;1)$, nằm hoàn toàn trong mặt phẳng $x=1$. Đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ với $y=0,z=1$. Giải $y=0$ cho $t=-1$ thì $z=-0,5\ne 1$, nên $NP$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$ không có điểm chung và không song song, tức là chéo nhau. Khẳng định '$NP$ cắt $A^{\prime }{B}^{\prime }$' là sai.
d) Đúng. Mặt phẳng $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ là mặt phẳng $x=0$ với pháp tuyến $(1;0;0)$. Đường thẳng $NP$ nằm hoàn toàn trong mặt phẳng $x=1$ (không thuộc $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$) và có vectơ chỉ phương $(0;1;1)$ vuông góc với pháp tuyến $(1;0;0)$, nên $NP\parallel (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)Đ - b)Đ - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MN\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ và $NP\parallel B{C}^{\prime }$ (hai cặp đường trung bình), hai đường này cắt nhau tại $N$ nên $(MNP)\parallel (B{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình của $ABCD$ nên $MN\parallel AB\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$NP$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$ chéo nhau (không có điểm chung, không song song), nên khẳng định '$NP$ cắt $A^{\prime }{B}^{\prime }$' là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$NP$ nằm hoàn toàn trong mặt phẳng $x=1$, có vectơ chỉ phương $(0;1;1)$ vuông góc với pháp tuyến $(1;0;0)$ của $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ (mặt phẳng $x=0$), nên $NP\parallel (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$.