Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$, $G$ là trọng tâm tam giác $A^{\prime }BD$ và $G^{\prime }$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AO$ sao cho $G{G}^{\prime }$ song song với $A{A}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $G{G}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ (cách dựng) mà $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ với $B{B}^{\prime }\subset (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, $G{G}^{\prime }\not\subset (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ nên $G{G}^{\prime }\parallel (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$.
b) Sai: $(A^{\prime }AC)\cap (A^{\prime }BD)$ là đường thẳng đi qua $A^{\prime }$ và $O$ (vì $O=AC\cap BD$ thuộc cả hai mặt phẳng), tức là đường thẳng $A^{\prime }O$, không phải $AO$.
c) Đúng: $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }C}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, nên $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\overrightarrow{D^{\prime }C}$, suy ra $A^{\prime }B\parallel C{D}^{\prime }$.
d) Sai: $G$ là trọng tâm tam giác $A^{\prime }BD$ nên $\vec{G}=\frac{\overrightarrow{A^{\prime }}+\vec{B}+\vec{D}}{3}$. Vì $G{G}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ và $G^{\prime }\in (ABCD)$ nên $\overrightarrow{G^{\prime }}=\vec{G}-\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{\overrightarrow{A^{\prime }}+\vec{A}+\vec{C}}{3}-\frac{\overrightarrow{A^{\prime }}-\vec{A}}{3}=\frac{2\vec{A}+\vec{C}}{3}=\vec{A}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Vậy $A{G}^{\prime }=\frac{1}{3}AC$, do đó $\frac{AC}{A{G}^{\prime }}=3\ne 4$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$G{G}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ với $B{B}^{\prime }\subset (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, $G{G}^{\prime }\not\subset (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ nên $G{G}^{\prime }\parallel (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến là đường thẳng $A^{\prime }O$ vì $O=AC\cap BD$ thuộc cả hai mặt phẳng, không phải $AO$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }B}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }C}$, nên $A^{\prime }B\parallel C{D}^{\prime }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính toán tọa độ vectơ cho $\overrightarrow{A{G}^{\prime }}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, suy ra $\frac{AC}{A{G}^{\prime }}=3\ne 4$.