Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $\widehat{SAD}=90^{\circ }$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trọng tâm $\Delta SAB$; $\Delta SCD$, $I$ là giao điểm của các đường thẳng $BM$; $CN$.

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$?

b) Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(AIC)$ và các mặt của hình chóp?

Giải (theo hướng dẫn chấm đề lẻ):



Gọi E và F lần lượt là trung điểm AB và CD.

a) Ta có $I=BM\cap CN\Rightarrow \{\begin{array}{l}I\in BM\subset (SAB)\\ I\in CN\subset (SCD)\end{array}\Rightarrow I\in (SAB)\cap (SCD)$.

Mà $S\in (SAB)\cap (SCD)$. Do đó $(SAB)\cap (SCD)=SI$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}AB\parallel CD\\ AB\subset (SAB)\\ CD\subset (SCD)\\ (SAB)\cap (SCD)=SI\end{array}\Rightarrow SI\parallel AB\parallel CD$. Vì $SI\parallel CD$ nên $SI\parallel CF$.

(Ở đây học sinh có thể chỉ ra giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ là $Sx$ thỏa mãn $Sx//AB//CD$.)

b) Theo định lý Ta – let ta có: $\frac{SI}{CF}=\frac{SN}{NF}=2\Rightarrow SI=2CF=CD=a$.

Gọi $J$ là giao điểm của $SD$ và $IC$. Suy ra hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(AIC)$ và các mặt của hình chóp là tam giác $ACJ$.

+ Từ giác $SIDC$ là hình bình hành $\Rightarrow J$ là trung điểm của $SD,CI$

Mặt khác, $AC=SD=a\sqrt{2}\Rightarrow AJ=\frac{a\sqrt{2}}{2}$,

+ Từ giác $SIAB$ là hình bình hành $\Rightarrow AI=AB=a$

Xét tam giác $IAC$ có $C{I}^2=2(A{C}^2+A{I}^2)-4A{J}^2=4a^2\Rightarrow CI=2a\Rightarrow CJ=a$.

Ta có: $\cos \widehat{CAJ}=\frac{A{J}^2+A{C}^2-C{J}^2}{2\cdot AC\cdot AJ}=\frac{\frac{a^2}{2}+2a^2-a^2}{2a^2}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow \sin \widehat{CAJ}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

Diện tích thiết diện là $S_{\Delta AJC}=\frac{1}{2}AC\cdot AJ\cdot \sin \widehat{CAJ}=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{a^2\sqrt{7}}{8}$ (đvdt).

(Thang điểm: a) 0,5; b) 0,25 + 0,25.)