Phương trình $\sin 2x=\cos 3x$ có bao nhiêu nghiệm trên $[0;\pi ]$?

Một vận động viên bắn súng nằm trên mặt đất ở vị trí $A$ để ngắm các mục tiêu khác nhau trên một bức tường thẳng đứng. Vận động viên bắn trúng mục tiêu $B$ cách mặt đất $3m$ tại góc ngắm ${\alpha }^0$ (góc hợp bởi phương bắn với phương ngang). Nếu tăng thêm góc ngắm đó $15^0$ thì vận động viên bắn trúng mục tiêu $C$ cách mặt đất $9m$ (hình vẽ minh họa). Khi đó khoảng cách từ vận động viên đến bức tường lớn nhất bằng bao nhiêu $m$? (làm tròn đến hàng phần chục)

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x$ là $x_0=\frac{m}{n}\pi$ (với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Tính giá trị của biểu thức $m+2n$.

Tìm các nghiệm của phương trình $\cos \left(x-30^{\circ }\right)=-\cos 2x$.

Câu 1 (1 điểm). Giải phương trình: $\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$.

Câu 2 (2,0 điểm): Giải các phương trình sau:
a) $2{\cos }^{2}x-3\sin x=0$.
b) $\frac{1}{2}{\log }_2(x-1{)}^2+{\log }_2(x+1)={\log }_2(5-x)$.

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố $A$ trong ngày thứ $t$ (ở đây $t$ là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhuận được mô hình hoá bởi hàm số $L(t)=12+2,83\sin \left(\frac{2\pi }{365}(t-80)\right)$, $t\in \mathbb{Z}$ và $0<t\le 365$. Vào ngày nào trong năm lần đầu thì thành phố $A$ có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời?