Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=4$, $AD=6$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=4\sqrt{3}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng 3 và thể tích bằng 18. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$. Trên các cạnh $SA,CD$ lần lượt lấy các điểm là $M,N$ sao cho $MN$ song song với là $GC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AG$ và $MN$ bằng $\frac{a}{b}$ với $a,b$ nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $P=6a+4b$ bằng bao nhiêu?

Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, đáy $ABC$ có cạnh $2\sqrt{3}$, chiều cao $A{A}^{\prime }=6$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh bên $A{A}^{\prime }$. Một điểm $M$ di động trong không gian sao cho tam giác $IAM$ cân tại $I$, diện tích tam giác $IAM$ bằng $\frac{9\sqrt{7}}{8}$ và $\widehat{AIM}$ là góc tù. Gọi $D$ là điểm đối xứng $A$ qua $BC$. Điểm $P$ thoả mãn $P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2+P{D}^2+P{A}^{\prime 2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng $PM$ và cạnh bên $A{A}^{\prime }$.

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $B$ và $C$; biết $BC=CD=D{D}^{\prime }=15$, $AB=30$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }D$. (Kết quả quy tròn đến hàng phần mười)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$ với $AB=6,AD=8$. Biết $SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $45^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $DM$ bằng $\frac{120}{\sqrt{n}}$, giá trị của $n$ bằng bao nhiêu?

Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $ABD$ đều cạnh bằng 2, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $BC=\sqrt{3}$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $\frac{\sqrt{11}}{2}$. Tính độ dài cạnh $CD$ và cosin của góc nhị diện $[C,AB,D]$.