Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$ với $AB=6,AD=8$. Biết $SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $45^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $DM$ bằng $\frac{120}{\sqrt{n}}$, giá trị của $n$ bằng bao nhiêu?

Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $ABD$ đều cạnh bằng 2, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $BC=\sqrt{3}$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $\frac{\sqrt{11}}{2}$. Tính độ dài cạnh $CD$ và cosin của góc nhị diện $[C,AB,D]$.

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$ có đơn vị mỗi trục là mét, một căn lều (minh họa hình bên) có dạng hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, $Ox$ cắt $B^{\prime }{C}^{\prime }$ tại $O^{\prime }$, $B$ và $C$ thuộc $Oy$, $A$ thuộc $Oz$, $O{O}^{\prime }=3$ m, $OA=OB=2$ m, cửa lều là tam giác $ABC$ cân tại $A$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh bằng 1, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=2$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh bằng 1, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí $A(5;0;0)$ trên một hòn đảo nhỏ trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục được tính bằng $\text{km}$), được sử dụng làm trạm cứu hộ, cứu nạn trên biển. Tàu du lịch $B$ đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường được mô tả bởi đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3-2t\\ z=0\end{array}$. Tàu chở hàng $C$ đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường vận tải được mô tả bởi đường thẳng $d_2:\{\begin{array}{l}x=2-s\\ y=9+s\\ z=0\end{array}$. Do thời tiết xấu, nên hai tàu $B$ và $C$ gặp sự cố và cần được tiếp cận khẩn cấp. Trạm cứu hộ điều một tàu cứu hộ xuất phát từ $A$ để lần lượt tiếp cận tàu du lịch $B$ trước, sau đó đến tàu chở hàng $C$. Xét vị trí tối ưu của tàu du lịch $B$ dừng lại và tàu chở hàng $C$ dừng lại sao cho tổng quãng đường tàu cứu hộ cần đi $P=AB+BC+CA$ là nhỏ nhất. Khi đó $P_{\min }=\sqrt{a}\text{ (km)}$, hãy tính $a+2025$?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, biết $AB=2a$, $AD=a$, $SA=3a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BM$ bằng