Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A^{\prime }A=A^{\prime }B=A^{\prime }C$, cạnh bên $A{A}^{\prime }=4$, đáy $ABC$ là tam giác đều. Biết mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc 60°. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là hình chiếu của $A^{\prime }$ lên $(ABC)$. Vì $A^{\prime }A=A^{\prime }B=A^{\prime }C=4$ nên $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$, và $A^{\prime }O\perp (ABC)$.

Đặt $R=OA=OB=OC$, $h=A^{\prime }O$. Ta có $A^{\prime }{B}^2=h^2+R^2=16$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$, khi đó $OM\perp BC$ và $OM=\frac{R}{2}$ (khoảng cách từ tâm đến cạnh của tam giác đều).

Vì $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $A{A}^{\prime }\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Giao tuyến của mặt phẳng qua $M$ vuông góc với $BC$ với mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là đường thẳng qua $M$ song song với $A{A}^{\prime }$. Góc giữa $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ và $(ABC)$ bằng góc giữa đường thẳng này và $MO$, bằng $60^{\circ }$.

Vector $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ có phương nằm trong mặt phẳng chứa $A,O,M$ với thành phần ngang bằng $R$ (chiếu lên $(ABC)$ theo hướng từ $A$ về $O$) và thành phần đứng $h$, độ dài $A{A}^{\prime }=4$. Góc giữa đường thẳng qua $M$ song song $A{A}^{\prime }$ và $MO$ thỏa $\cos 60^{\circ }=\frac{R}{4}$, suy ra $R=2$.

Do đó $h^2=16-R^2=12\Rightarrow h=2\sqrt{3}$. Cạnh đáy $a=R\sqrt{3}=2\sqrt{3}$, diện tích đáy $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 12=3\sqrt{3}$.

Thể tích khối lăng trụ: $V=S\cdot h=3\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=18$.