Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, đáy $ABC$ có cạnh $2\sqrt{3}$, chiều cao $A{A}^{\prime }=6$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh bên $A{A}^{\prime }$. Một điểm $M$ di động trong không gian sao cho tam giác $IAM$ cân tại $I$, diện tích tam giác $IAM$ bằng $\frac{9\sqrt{7}}{8}$ và $\widehat{AIM}$ là góc tù. Gọi $D$ là điểm đối xứng $A$ qua $BC$. Điểm $P$ thoả mãn $P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2+P{D}^2+P{A}^{\prime 2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng $PM$ và cạnh bên $A{A}^{\prime }$.

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $B$ và $C$; biết $BC=CD=D{D}^{\prime }=15$, $AB=30$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }D$. (Kết quả quy tròn đến hàng phần mười)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$ với $AB=6,AD=8$. Biết $SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $45^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $DM$ bằng $\frac{120}{\sqrt{n}}$, giá trị của $n$ bằng bao nhiêu?

Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $ABD$ đều cạnh bằng 2, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $BC=\sqrt{3}$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $\frac{\sqrt{11}}{2}$. Tính độ dài cạnh $CD$ và cosin của góc nhị diện $[C,AB,D]$.

Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí $A(5;0;0)$ trên một hòn đảo nhỏ trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục được tính bằng $\text{km}$), được sử dụng làm trạm cứu hộ, cứu nạn trên biển. Tàu du lịch $B$ đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường được mô tả bởi đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3-2t\\ z=0\end{array}$. Tàu chở hàng $C$ đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường vận tải được mô tả bởi đường thẳng $d_2:\{\begin{array}{l}x=2-s\\ y=9+s\\ z=0\end{array}$. Do thời tiết xấu, nên hai tàu $B$ và $C$ gặp sự cố và cần được tiếp cận khẩn cấp. Trạm cứu hộ điều một tàu cứu hộ xuất phát từ $A$ để lần lượt tiếp cận tàu du lịch $B$ trước, sau đó đến tàu chở hàng $C$. Xét vị trí tối ưu của tàu du lịch $B$ dừng lại và tàu chở hàng $C$ dừng lại sao cho tổng quãng đường tàu cứu hộ cần đi $P=AB+BC+CA$ là nhỏ nhất. Khi đó $P_{\min }=\sqrt{a}\text{ (km)}$, hãy tính $a+2025$?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{2}$ và ${\Delta }_2:\frac{x+3}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-4}$. Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, biết $AB=2a$, $AD=a$, $SA=3a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BM$ bằng