Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AD=a,AB=2a$. Cạnh bên $SA=2a$ và vuông góc với đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $SD$. Tính khoảng cách $d$ từ $S$ đến mặt phẳng $(AMN)$.

Ta có thể tích khối chóp $S.ABD$ là:
$V_{S.ABD}=\frac{1}{3}SA\cdot S_{\Delta ABD}=\frac{1}{3}\cdot 2a\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot a\right)=\frac{2a^3}{3}$.
Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,SD$ nên:
$\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABD}}=\frac{SM}{SB}\cdot \frac{SN}{SD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{1}{4}{V}_{S.ABD}=\frac{a^3}{6}$.
Xét tam giác vuông $SAD$ tại $A$:
$SD=\sqrt{S{A}^2+A{D}^2}=\sqrt{4a^2+a^2}=a\sqrt{5}\Rightarrow AN=\frac{1}{2}SD=\frac{a\sqrt{5}}{2}$ (trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Xét tam giác vuông $SAB$ tại $A$:
$SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{4a^2+4a^2}=2a\sqrt{2}\Rightarrow AM=\frac{1}{2}SB=a\sqrt{2}$.
Trong tam giác $SBD$, $MN$ là đường trung bình nên:
$MN=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2+a^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Tam giác $AMN$ cân tại $N$ với $AN=MN=\frac{a\sqrt{5}}{2}$ và $AM=a\sqrt{2}$.
Gọi $K$ là trung điểm $AM\Rightarrow NK\perp AM$.
$NK=\sqrt{A{N}^2-A{K}^2}=\sqrt{\frac{5a^2}{4}-\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Diện tích tam giác $AMN$ là: $S_{\Delta AMN}=\frac{1}{2}AM\cdot NK=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{6}}{4}$.
Khoảng cách từ $S$ đến $(AMN)$ là:
$d(S,(AMN))=\frac{3V_{S.AMN}}{S_{\Delta AMN}}=\frac{3\cdot \frac{a^3}{6}}{\frac{a^2\sqrt{6}}{4}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.
Chọn A.