Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A,AC=a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ là trung điểm $H$ của $BC$. Mặt phẳng $(SAB)$ tạo với $(ABC)$ một góc $60^{\circ }$. Tính khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $K$ là trung điểm của $AB$. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $H$ (trung điểm $BC$) là tâm đường tròn ngoại tiếp, do đó $HA=HB=HC$, tức tam giác $HAB$ cân tại $H$. Suy ra $HK\perp AB$ với $K$ là trung điểm $AB$.

Ta có $SH\perp (ABC)$ nên $SH\perp AB$. Kết hợp $HK\perp AB$ suy ra $AB\perp (SHK)$. Vì $AB$ là giao tuyến của $(SAB)$ và $(ABC)$, góc giữa hai mặt phẳng này là $\widehat{SKH}=60^{\circ }$.

Khoảng cách từ $H$ đến $AB$: trong tam giác vuông $ABC$, đường trung bình $HK$ (với $K$ trung điểm $AB$, $H$ trung điểm $BC$) nên $HK=\frac{AC}{2}=\frac{a}{2}$.

Tam giác $SHK$ vuông tại $H$ (vì $SH\perp (ABC)$ nên $SH\perp HK$) có $\widehat{SKH}=60^{\circ }$, do đó $SH=HK\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vì $AB\perp (SHK)$, đoạn vuông góc từ $H$ xuống $(SAB)$ nằm trong mặt phẳng $(SHK)$, hạ từ $H$ vuông góc với $SK$ (giao tuyến của $(SHK)$ và $(SAB)$). Trong tam giác vuông $SHK$ (vuông tại $H$):
$$d(H,(SAB))=\frac{SH\cdot HK}{SK}=HK\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$$

Vậy khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$.