Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, có $O$ là tâm của đáy và $SO=AB=a$.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$?
b) Tính khoảng cách $d\left(B;(SAC)\right)$.
c) Tính $d\left(O;(SBC)\right)$.
d) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng $SA,BC$.
e) Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD,S.ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: O(0;0;0), A(a/2;−a/2;0), B(a/2;a/2;0), C(−a/2;a/2;0), D(−a/2;−a/2;0), S(0;0;a).

a) Vì AB ∥ CD nên (SAB) và (SCD) cắt nhau theo đường thẳng qua S song song AB. VTCP của (SAB): n1 = AB × AS = (a²; 0; a²/2). VTCP của (SCD): n2 = CD × DS = (−a²; 0; a²/2). cos = |n1·n2|/(|n1||n2|) = |−a⁴ + a⁴/4| / (a²√(5/4)·a²√(5/4)) = (3a⁴/4)/(5a⁴/4) = 3/5. Vậy góc giữa hai mặt phẳng là arccos(3/5) ≈ 53°07′.

b) Mặt phẳng (SAC) có VTPT n = AC × AS = (a²; a²; 0), suy ra (SAC): x + y = 0. d(B,(SAC)) = |a/2 + a/2|/√2 = a/√2 = a√2/2.

c) Mặt phẳng (SBC) có VTPT n = BC × BS = (0; a²; a²/2), suy ra (SBC): 2y + z − a = 0. d(O,(SBC)) = |−a|/√5 = a/√5 = a√5/5.

d) Vì BC ∥ AD nên d(SA,BC) = d(BC,(SAD)) = d(B,(SAD)). Mặt phẳng (SAD) có VTPT n = AD × AS = (0; a²; −a²/2), suy ra (SAD): 2y − z + a = 0. d(B,(SAD)) = |a + 0 + a|/√5 = 2a/√5 = 2a√5/5.

e) V(S.ABCD) = (1/3)·S_ABCD·SO = (1/3)·a²·a = a³/3. V(S.ABC) = (1/3)·S_ABC·SO = (1/3)·(a²/2)·a = a³/6 (đường cao từ S xuống (ABC) chính là SO = a vì SO ⊥ đáy).