Tứ diện đều $ABCD,AB=a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(BCD)$ và $(ACD)$?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là trung điểm $CD$. Vì tứ diện đều $ABCD$ có $AB=AC=AD=BC=BD=CD=a$ nên $△ACD$ và $△BCD$ đều, do đó $AH\perp CD$ và $BH\perp CD$. Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$ là góc giữa $AH$ và $BH$, tức $\widehat{AHB}$.

Tam giác $ABH$ có $AH=BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đường cao tam giác đều cạnh $a$) và $AB=a$. Theo định lí cosin:
$$\cos \widehat{AHB}=\frac{A{H}^2+B{H}^2-A{B}^2}{2\cdot AH\cdot BH}=\frac{\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-a^2}{2\cdot \frac{3a^2}{4}}=\frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{3a^2}{2}}=\frac{1}{3}.$$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(BCD)$ và $(ACD)$ bằng $\arccos \frac{1}{3}\approx 70^{\circ }32^{\prime }$.