Câu 92Học KỳChuyên đề: Khoảng cách điểm đến mặt không tọa độ • Lớp 11Thể tích khối chópChứng minh hai mặt vuông gócVận dụng#secondary:M11.G13.VOLUME.L3.PYRAMID#secondary:M11.G08.PERP_PLANES.L3.PROOF
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ? Tính thể tích khối chóp rồi suy ra diện tích tam giác .
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ? Tính thể tích khối chóp rồi suy ra diện tích tam giác .
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), C(a,a,0), H(a/2,0,0). Vì (SAB)⊥(ABCD) và tam giác SAB đều cạnh a nên SH⊥AB tại H, S nằm trên đường thẳng qua H vuông góc đáy, SH = a√3/2, tức S(a/2, 0, a√3/2).
1) Khoảng cách từ H đến (SBD): vectơ BS = (−a/2, 0, a√3/2), BD = (−a, a, 0), pháp tuyến n = BS×BD = (−a²√3/2, −a²√3/2, −a²/2), chọn n = (√3, √3, 1). Mặt phẳng (SBD): √3x + √3y + z = √3a (thỏa B, D, S). Do đó d(H,(SBD)) = |√3·(a/2) − √3a|/√7 = (√3a/2)/√7 = a√21/14.
2) Thể tích khối chóp S.ABC: diện tích tam giác ABC (vuông tại A) là a²/2, chiều cao SH = a√3/2, nên V = (1/3)·(a²/2)·(a√3/2) = a³√3/12.
3) Suy ra diện tích tam giác SBD: tứ diện S.ABC chính là khối chóp A.SBD, nên V = (1/3)·S_{SBD}·d(A,(SBD)). Ta có d(A,(SBD)) = √3a/√7. Suy ra S_{SBD} = 3V/d = 3·(a³√3/12)·(√7/(√3a)) = a²√7/4.
Kết luận: d(H,(SBD)) = a√21/14; V_{S.ABC} = a³√3/12; S_{SBD} = a²√7/4.
Chọn hệ trục: A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), C(a,a,0), H(a/2,0,0). Vì (SAB)⊥(ABCD) và tam giác SAB đều cạnh a nên SH⊥AB tại H, S nằm trên đường thẳng qua H vuông góc đáy, SH = a√3/2, tức S(a/2, 0, a√3/2).
1) Khoảng cách từ H đến (SBD): vectơ BS = (−a/2, 0, a√3/2), BD = (−a, a, 0), pháp tuyến n = BS×BD = (−a²√3/2, −a²√3/2, −a²/2), chọn n = (√3, √3, 1). Mặt phẳng (SBD): √3x + √3y + z = √3a (thỏa B, D, S). Do đó d(H,(SBD)) = |√3·(a/2) − √3a|/√7 = (√3a/2)/√7 = a√21/14.
2) Thể tích khối chóp S.ABC: diện tích tam giác ABC (vuông tại A) là a²/2, chiều cao SH = a√3/2, nên V = (1/3)·(a²/2)·(a√3/2) = a³√3/12.
3) Suy ra diện tích tam giác SBD: tứ diện S.ABC chính là khối chóp A.SBD, nên V = (1/3)·S_{SBD}·d(A,(SBD)). Ta có d(A,(SBD)) = √3a/√7. Suy ra S_{SBD} = 3V/d = 3·(a³√3/12)·(√7/(√3a)) = a²√7/4.
Kết luận: d(H,(SBD)) = a√21/14; V_{S.ABC} = a³√3/12; S_{SBD} = a²√7/4.