Cho hình hộp đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình vuông, tam giác $A^{\prime }AC$ vuông cân, $A^{\prime }C=a$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(BC{D}^{\prime })$ theo $a$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy là $x$, chiều cao hình hộp $A{A}^{\prime }=h$. Vì hình hộp đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$, do đó $A{A}^{\prime }\perp AC$. Tam giác $A^{\prime }AC$ vuông cân tại $A$ nên $A{A}^{\prime }=AC=h$. Theo Pythagore: $A^{\prime }{C}^2=A{C}^2+A{A}^{\prime 2}=2h^2=a^2\Rightarrow h=\frac{a}{\sqrt{2}}$. Đáy là hình vuông nên $AC=x\sqrt{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=\frac{a}{2}$.

Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(x;0;0)$, $C(x;x;0)$, $D(0;x;0)$, $D^{\prime }(0;x;h)$ với $x=\frac{a}{2}$, $h=\frac{a}{\sqrt{2}}$.

Mặt phẳng $(BC{D}^{\prime })$ chứa $\overrightarrow{BC}=(0;x;0)$ và $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-x;x;h)$, vectơ pháp tuyến:
$$\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(xh;0;x^2).$$
Phương trình mặt phẳng: $h(X-x)+xZ=0$, tức $hX+xZ-hx=0$.

Khoảng cách từ $A(0;0;0)$:
$$d(A,(BC{D}^{\prime }))=\frac{hx}{\sqrt{h^2+x^2}}=\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}}}=\frac{\frac{a^2}{2\sqrt{2}}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}.$$