Cho hình chóp $S.ABC$ có $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, với $SA=\frac{a}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đáy ABC là tam giác đều cạnh a nên $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Đúng.
b) $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$. Vì $PQ\parallel BC$ với $PQ=\frac{BC}{2}$, tam giác $SPQ$ đồng dạng với $SBC$ tỉ số $\frac{1}{2}$ nên $V_{S.PQ\dot{.}.}$ tức $V_{S.APQ}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2{V}_{S.ABC}=\frac{V}{4}$ (cùng đỉnh A, đáy thu nhỏ theo tỉ số 1/2). Do đó $V_{A.BCQP}=V_{S.ABC}-V_{S.APQ}=\frac{3}{4}\cdot \frac{a^3\sqrt{3}}{24}=\frac{a^3\sqrt{3}}{32}\ne \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$. Sai.
c) $V_{S.ABC}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}\ne \frac{a^3\sqrt{3}}{8}$. Sai.
d) Gọi H là trung điểm BC, khi đó $AH\perp BC$ và $SA\perp (ABC)$ nên $SH\perp BC$. Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{SHA}$. Với $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $SA=\frac{a}{2}$: $\tan \widehat{SHA}=\frac{SA}{AH}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên góc bằng $30^{\circ }\ne 60^{\circ }$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều cạnh a có diện tích $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V_{S.ABC}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$; $V_{S.APQ}=\frac{V}{4}$ nên $V_{A.BCQP}=\frac{3V}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{32}\ne \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}\ne \frac{a^3\sqrt{3}}{8}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai mặt phẳng là $\widehat{SHA}$ với H trung điểm BC; $\tan \widehat{SHA}=\frac{a/2}{a\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên góc bằng $30^{\circ }$.