Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f^{\prime }$ là hàm bậc ba với cực tiểu tại $x=0$ có giá trị $-4$, $f^{\prime }(-1)=-2$, và đồ thị tiếp xúc trục hoành tại $x=-2$ (cực đại của $f^{\prime }$), cắt trục tại $x=1$. Viết $f^{\prime }(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$; cực tiểu tại $x=0$ cho $c=0$, $d=-4$; $f^{\prime }(-1)=-2$ cho $b-a=2$; cực đại tại $x=-2$ cho $f^{\prime \prime }(-2)=0\Rightarrow b=3a$. Suy ra $a=1,b=3$, tức $f^{\prime }(x)=x^3+3x^2-4=(x+2{)}^2(x-1)$. (Lưu ý: nhận xét trong phần errors cho rằng $f^{\prime }$ cắt trục tại $-3$ và $-1$ là không đúng, vì đồ thị cho $f^{\prime }(-1)=-2\ne 0$ và $f^{\prime }$ chỉ tiếp xúc trục tại $x=-2$.)

a) $g(x)=f(x)-\frac{1}{2}{x}^2+x+2025$ nên $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=(x+2{)}^2(x-1)-x+1=x^3+3x^2-x-3=(x+3)(x+1)(x-1)$.
Bảng biến thiên: $g^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-3)$, $g^{\prime }<0$ trên $(-3;-1)$, $g^{\prime }>0$ trên $(-1;1)$, $g^{\prime }<0$ trên $(1;+\infty )$. Vậy $g$ có hai cực đại tại $x=-3$ và $x=1$, một cực tiểu tại $x=-1$; khi $x\to \pm \infty$, $g\to -\infty$. Đồ thị cắt $y=m$ tại 4 điểm phân biệt $\iff g(-1)<m<\min \{g(-3);g(1)\}$. → Đúng.

b) $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)$, nghiệm $x=-2$ (kép) và $x=1$. Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1}h(x)=\infty$ → tiệm cận đứng $x=1$. Tại $x=-2$: $h(x)\sim \frac{-3}{-3(x+2{)}^2}\to \pm \infty$ → tiệm cận đứng $x=-2$. Khi $x\to \pm \infty$, $h(x)\to 0$ (tử bậc nhất, mẫu bậc ba) → tiệm cận ngang $y=0$. Tổng cộng 3 đường tiệm cận. → Đúng.

c) Với $x>0$: $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)<0$, nên $f$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$. → Sai.

d) $f^{\prime }(x)\le 0$ trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=-2$ (nghiệm kép), nên $f$ không có điểm cực trị. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $g^{\prime }(x)=(x+3)(x+1)(x-1)$; $g$ có 2 cực đại ($x=-3,1$), 1 cực tiểu ($x=-1$), đi xuống ở hai đầu nên 4 nghiệm $\iff g(-1)<m<\min \{g(-3);g(1)\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hai tiệm cận đứng $x=-2$, $x=1$ (nghiệm của $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)$) và tiệm cận ngang $y=0$ vì bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)<0$ với $x>0$ nên $f$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f^{\prime }(x)\le 0$ trên $\mathbb{R}$, nghiệm kép $x=-2$ không làm đổi dấu $f^{\prime }$, nên $f$ không có điểm cực trị.