Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn khi có tổng bằng 3 và công bội bằng $\frac{2}{3}$

(1,0 điểm) Cho hình vuông cạnh 4 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (tham khảo hình bên dưới). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần.



Gọi $S_1,S_2,\dots ,S_n,\dots$ lần lượt là diện tích các hình vuông được tô màu.

Tính tổng $T=S_1+S_2+\dots +S_n+\dots$

(1,0 điểm) Cho hình vuông cạnh bằng 4 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (tham khảo hình bên dưới). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần.



Gọi $S_1,S_2,\dots ,S_n,\dots$ lần lượt là diện tích các hình vuông được tô màu.

Tính tổng $T=S_1+S_2+\dots +S_n+\dots$

Tổng $S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^n}+...$ bằng bao nhiêu?

Câu 1. Tìm được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots$ và $T=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\dots +\frac{1}{5^n}+\dots$

Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Tìm được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: $A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$ và $B=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\dots +\frac{1}{4^n}+\dots$
Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:
Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích $\frac{1}{4}$).
Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{4^2}$ ).

Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ $n$ , bỏ đi $3^{n-1}$ tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{4^n}$ ). Tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi bằng bao nhiêu?