Trong hộp có 45 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 45. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách lấy 3 quả từ 45 quả: $C_{45}^3=14190$.

a) Số quả đánh số chẵn: $2,4,\dots ,44$ gồm 22 quả. Số cách lấy 3 quả chẵn: $C_{22}^3=1540$. Mệnh đề đúng.

b) Phân loại theo $v_2$ (số mũ của 2): $v_2=0$: 23 số lẻ; $v_2=1$: 11 số $(2,6,\dots ,42)$; $v_2=2$: 6 số $(4,12,\dots ,44)$; $v_2=3$: 3 số $(8,24,40)$; $v_2=4$: 1 số $(16)$; $v_2=5$: 1 số $(32)$. Tích KHÔNG chia hết cho 8 (tổng $v_2\le 2$) gồm các trường hợp: 3 lẻ: $C_{23}^3=1771$; 2 lẻ + 1 số có $v_2=1$: $C_{23}^2\cdot 11=2783$; 2 lẻ + 1 số có $v_2=2$: $253\cdot 6=1518$; 1 lẻ + 2 số $v_2=1$: $23\cdot C_{11}^2=1265$; 1 lẻ + 1 số $v_2=1$ + 1 số $v_2=2$: $23\cdot 11\cdot 6=1518$; 3 số $v_2=1$: $C_{11}^3=165$; 1 lẻ + 2 số $v_2=2$: $23\cdot C_6^2=345$. Tổng: $9365$. Vậy số cách tích chia hết cho 8: $14190-9365=4825$, xác suất $=\frac{4825}{14190}=\frac{965}{2838}\ne \frac{523}{1290}$. Mệnh đề sai.

c) Tổng lẻ khi số phần tử lẻ là 1 hoặc 3: $C_{23}^1{C}_{22}^2+C_{23}^3=23\cdot 231+1771=7084$. Xác suất $=\frac{7084}{14190}=\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$. Mệnh đề sai.

d) Phân loại theo dư mod 4: $r_0$: 11 số; $r_1$: 12 số; $r_2$: 11 số; $r_3$: 11 số. Tổng $\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ gồm: $(0,0,0)$: $C_{11}^3=165$; $(0,1,3)$: $11\cdot 12\cdot 11=1452$; $(0,2,2)$: $11\cdot C_{11}^2=605$; $(1,1,2)$: $C_{12}^2\cdot 11=726$; $(3,3,2)$: $C_{11}^2\cdot 11=605$. Tổng: $3553$. Xác suất $=\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$. Mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 22 số chẵn từ 2 đến 44, số cách lấy 3 quả chẵn là $C_{22}^3=1540$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cách để tích chia hết cho 8 là $14190-9365=4825$, xác suất $\frac{965}{2838}\ne \frac{523}{1290}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng lẻ: $C_{23}^1{C}_{22}^2+C_{23}^3=7084$, xác suất $\frac{7084}{14190}=\frac{3542}{7095}\ne \frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đếm theo dư mod 4 được 3553 cách, xác suất $\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$.