Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $[a;b]$. Tìm mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $f(x)$ xác định trên $[a;b]$:

- **A sai:** Hàm liên tục trên $[a;b]$ và $f(a)f(b)>0$ vẫn có thể có nghiệm trong $(a;b)$ khi đồ thị chạm trục hoành mà không đổi dấu, ví dụ $f(x)=(x-c{)}^2$ với $c\in (a;b)$, khi đó $f(a)f(b)>0$ nhưng $f(c)=0$.

- **B sai:** Mệnh đề thiếu giả thiết $f(x)$ liên tục. Nếu $f$ không liên tục, ví dụ $f(x)=-1$ với $x\le c$ và $f(x)=1$ với $x>c$ ($c\in (a;b)$), thì $f(a)f(b)<0$ nhưng $f(x)=0$ vô nghiệm.

- **C đúng:** Vì $f$ liên tục và tăng trên $[a;b]$ nên nếu $f(x)=0$ có nghiệm $x_0\in (a;b)$ thì do $f$ tăng, $f(a)<f(x_0)=0<f(b)$, suy ra $f(a)f(b)<0$, mâu thuẫn với $f(a)f(b)>0$. Vậy phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm trong $(a;b)$.

- **D sai:** Phương trình $f(x)=0$ có nghiệm trong $(a;b)$ không kéo theo $f$ liên tục; hàm rời rạc vẫn có thể có nghiệm (ví dụ $f(x)=0$ tại một điểm và bằng 1 tại các điểm khác).

Vậy mệnh đề đúng là C.