Cho hàm số đa thức bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m\in [-100;100]$ để hàm số $h(x)=|f^2(x)+4f(x)+3m|$ có đúng 5 điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của $S$ bằng:

Xét hàm số $g(x)=f^2(x)+4f(x)$. Ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)[f(x)+2]$. $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=0$ hoặc $f(x)=-2$. Từ đồ thị của $f(x)$, ta thấy $f(x)$ có 2 điểm cực trị và phương trình $f(x)=-2$ có 3 nghiệm phân biệt không trùng với điểm cực trị, do đó $g^{\prime }(x)=0$ có 5 nghiệm phân biệt đơn/bội lẻ $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$. Bảng biến thiên của hàm số $g(x)$ cho thấy giá trị cực tiểu nhỏ nhất của $g(x)$ là $g(x)=(-2{)}^2+4(-2)=-4$. Hàm số $h(x)=|g(x)+3m|$ có đúng 5 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị $g(x)+3m$ không cắt trục hoành tại thêm điểm nào (nằm hoàn toàn phía trên trục hoành), tức là giá trị nhỏ nhất $g(x)+3m\ge 0\iff -4+3m\ge 0\iff m\ge \frac{4}{3}$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-100;100]$ nên $m\in \{2;3;4;\dots ;100\}$. Tổng các phần tử của tập hợp $S$ là $2+3+4+\cdots +100=\frac{(100+2)\cdot 99}{2}=5049$. Chọn C.