Gọi $S$ là tập hợp các số thực $m$ sao cho phương trình $z^2+2mz+m+1=0$ có hai nghiệm phức $z_1,z_2$ và các điểm biểu diễn của $z_1,z_2$ cùng với gốc tọa độ $O$ tạo thành một tam giác vuông. Tổng tất cả các phần tử của $S$ bằng:

Phương trình có ${\Delta }^{\prime }=m^2-m-1$. Theo định lý Vi-ét ta có $z_1+z_2=-2m$ và $z_1{z}_2=m+1$.
- Trường hợp 1: ${\Delta }^{\prime }>0\iff m^2-m-1>0$. Khi đó phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2$. Điểm biểu diễn $A(z_1;0)$ và $B(z_2;0)$ đều nằm trên trục thực $Ox$, cùng với gốc tọa độ $O$ thẳng hàng nên không thể tạo thành tam giác. Trường hợp này loại.
- Trường hợp 2: ${\Delta }^{\prime }<0\iff m^2-m-1<0$. Khi đó phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_{1,2}=-m\pm i\sqrt{-m^2+m+1}$. Gọi $A(-m;\sqrt{-m^2+m+1})$ và $B(-m;-\sqrt{-m^2+m+1})$. Ta có $OA=OB=\sqrt{m^2+(-m^2+m+1)}=\sqrt{m+1}$. Tam giác $OAB$ cân tại $O$, do đó tam giác $OAB$ vuông khi và chỉ khi vuông tại $O$, tức là $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0\iff (-m)(-m)-(-m^2+m+1)=0\iff 2m^2-m-1=0\iff m=1$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn ${\Delta }^{\prime }<0$. Suy ra $S=\left\{-\frac{1}{2};1\right\}$. Tổng các phần tử của $S$ bằng $-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$. Chọn A.