Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}(m^2-m)x^3+2m{x}^2+3x-2023$ đồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$?

Ta có $y^{\prime }=(m^2-m)x^2+4mx+3$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
- Với $m=0$: $y^{\prime }=3>0,\forall x\in \mathbb{R}$ (thỏa mãn).
- Với $m=1$: $y^{\prime }=4x+3\ge 0\iff x\ge -\frac{3}{4}$ (không thỏa mãn trên toàn $\mathbb{R}$).
- Với $m\notin \{0;1\}$: $y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-m>0\\ {\Delta }^{\prime }=4m^2-3(m^2-m)\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[<table><tbody><tr><td>m>1</td></tr><tr><td>m<0</td></tr></tbody></table>\\ m^2+3m\le 0\end{array}\iff -3\le m<0$.
Kết hợp với $m=0$, ta được $-3\le m\le 0$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2;-1;0\}$, gồm 4 giá trị nguyên. Chọn A.