Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-(m+1)x^2+(m^2+2m)x+1$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ nằm trong đoạn $[-100;100]$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(1;5)$?

Ta có $y^{\prime }=x^2-2(m+1)x+m^2+2m=(x-m)(x-m-2)$. Nghiệm của $y^{\prime }=0$ là $x=m$ và $x=m+2$. Để hàm số đồng biến trên $(1;5)$ thì khoảng $(1;5)$ không được giao với khoảng $(m;m+2)$, tức là $m+2\le 1\iff m\le -1$ hoặc $m\ge 5$. Kết hợp $m\in [-100;100]$ và $m\in \mathbb{Z}$ ta có: $m\in \{-100;-99;\dots ;-1\}$ (100 giá trị) hoặc $m\in \{5;6;\dots ;100\}$ (96 giá trị). Tổng số giá trị nguyên của $m$ là $100+96=196$.


Chọn D.