Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=a$, $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. Góc giữa đường thẳng $A^{\prime }B$ và mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng:

Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Do tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đều cạnh $a$ nên $A^{\prime }M\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }M=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Mặt khác lăng trụ đứng nên $A^{\prime }M\perp B{B}^{\prime }$, do đó $A^{\prime }M\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }B$ trên mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là $MB$. Khi đó góc giữa đường thẳng $A^{\prime }B$ và mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là $\widehat{(A^{\prime }B,MB)}=\widehat{A^{\prime }BM}$. Trong tam giác vuông $A^{\prime }AB$, ta có $A^{\prime }B=\sqrt{A{A}^{\prime 2}+A{B}^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}$. Trong tam giác vuông $A^{\prime }BM$ tại $M$, ta có $\sin \widehat{A^{\prime }BM}=\frac{A^{\prime }M}{A^{\prime }B}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{A^{\prime }BM}=30^{\circ }$. Chọn D.