Bài 10. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,B$, $AB=BC=a$, $AD=2a$. Cạnh $SA$ vuông góc với đáy, $SA=a\sqrt{2}$. Tính góc giữa
a) $SC$ và $(SAB)$
b) $SD$ và $(SAC)$
c) $AC$ và $(SAD)$

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập hệ trục: vì đáy vuông tại $A,B$ nên $AD\perp AB$, $BC\perp AB$, do đó $AD\parallel BC$. Chọn $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;2a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{2})$.

a) $SC$ và $(SAB)$: Ta có $AB\perp BC$ (giả thiết) và $SA\perp BC$ ($SA\perp$ đáy) $\Rightarrow BC\perp (SAB)$. Vậy hình chiếu của $SC$ lên $(SAB)$ là $CB$, góc cần tính là $\widehat{SCB}$. Tam giác $SBC$ vuông tại $B$ với $BC=a$, $SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}$. Do đó $\tan \widehat{SCB}=\frac{SB}{BC}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SCB}=60^0$.

b) $SD$ và $(SAC)$: Ta có $DC\perp SA$ (vì $SA\perp$ đáy) và $DC\perp AC$ vì $\overrightarrow{DC}=(a;-a;0)$, $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$, tích vô hướng $a^2-a^2=0$. Vậy $DC\perp (SAC)$, hình chiếu của $D$ lên $(SAC)$ là $C$, hình chiếu của $SD$ là $SC$. Góc giữa $SD$ và $(SAC)$ là $\widehat{DSC}$. Tam giác $SDC$ vuông tại $C$: $SD=\sqrt{S{A}^2+A{D}^2}=\sqrt{2a^2+4a^2}=a\sqrt{6}$, $DC=a\sqrt{2}$. Suy ra $\sin \widehat{DSC}=\frac{DC}{SD}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, tức $\widehat{DSC}=\arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}\approx 35^{0}15^{\prime }$ (hoặc $\tan \widehat{DSC}=\frac{DC}{SC}=\frac{a\sqrt{2}}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$).

c) $AC$ và $(SAD)$: Ta có $AB\perp AD$ và $AB\perp SA$ $\Rightarrow AB\perp (SAD)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ lên $(SAD)$, thì $H$ thuộc đường thẳng qua $C$ song song $AB$, tức $H$ nằm trên $AD$ với $CH=AB=a$, $AH=BC=a$. Hình chiếu của $AC$ lên $(SAD)$ là $AH$, góc cần tính là $\widehat{CAH}$. Tam giác $ACH$ vuông tại $H$ với $AH=CH=a$ nên $\tan \widehat{CAH}=\frac{CH}{AH}=1\Rightarrow \widehat{CAH}=45^0$.

Kết luận: a) $60^0$; b) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}\approx 35^{0}15^{\prime }$; c) $45^0$.