Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với đáy.
a) Chứng minh rằng $BD\perp (SAC)$
b) Gọi $M$, $N$ là trung điểm của $SC$, $SD$. Chứng minh $MN\perp (SAD)$
c) Cho $SA=a\sqrt{3}$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $CN$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Đáy là hình vuông nên $AC\perp BD$ (hai đường chéo vuông góc). Do đó $BD\perp (SAC)$ vì $BD$ vuông góc với hai đường cắt nhau $SA$ và $AC$ của $(SAC)$.

b) Trong tam giác $SCD$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SC$, $SD$ nên $MN\parallel CD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$; vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Suy ra $CD\perp (SAD)$, mà $MN\parallel CD$ nên $MN\perp (SAD)$.

c) Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{3})$. Trung điểm $N$ của $SD$: $N\left(0;\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$.
Ta có $\overrightarrow{SB}=(a;0;-a\sqrt{3})$ (hoặc $(a;0;a\sqrt{3})$ tùy hướng, kết quả cosin như nhau xét giá trị tuyệt đối) và $\overrightarrow{CN}=\left(-a;-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$.

$\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{CN}=-a^2+0+\frac{3a^2}{2}=\frac{a^2}{2}$ (lấy $\overrightarrow{SB}=(a;0;-a\sqrt{3})$).

$|SB|=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$; $|CN|=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}}=a\sqrt{2}$.

$$\cos (SB,CN)=\frac{\frac{a^2}{2}}{2a\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}.$$

Vậy góc giữa $SB$ và $CN$ bằng $\arccos \frac{\sqrt{2}}{8}\approx 79^{\circ }37^{\prime }$.