Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$. Tính khoảng cách từ $B$ tới đường thẳng $D{B}^{\prime }$

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $AB=1$, $\widehat{ACB}=30^{\circ }$. Biết $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=2$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Khi đó:

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Một ngôi nhà hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. $AB=AD=4(m);BC=3,5(m);B{B}^{\prime }=6m$ (xem hình vẽ). Ở bức tường $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $3(m)$, còn ở bức tường $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $2,5(m)$. Một bảng điều khiển được đặt tại bức tường $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $1(m)$ và cao $1,5(m)$ so với mặt sàn. Người ta muốn nối dây điện từ bảng điều khiển men theo các bức tường (không mắc lên mái) đến 2 bóng điện trên. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu mét dây điện? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp (ABCD)$, đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $a$ và $\hat{B}=60^{\circ }$. Biết $SA=2a$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $SC$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$. Tính khoảng cách từ $B$ tới đường thẳng $D{B}^{\prime }$

Tại một vùng núi hiểm trở, các kỹ sư quân sự thiết lập một hệ thống liên lạc gồm 4 trạm chính đặt tại các đỉnh của một tứ diện $ABCD$. Do đặc thù địa hình, các khoảng cách đo được như sau: $AC=AD=BC=BD=2,5$ km; $AB=1,4$ km; $CD=4,8$ km. Một đội cứu hộ đang di chuyển trên con đường nối giữa hai trạm $A$ và $D$. Họ cần thiết lập một trạm tiếp sóng tạm thời tại vị trí $P$ trên đoạn thẳng $AD$. Cùng lúc đó, có hai kỹ sư khác đang ở vị trí là điểm $M$ và điểm $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$. (tham khảo hình vẽ minh họa). Giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài đường truyền tín hiệu từ $M$ đến $P$ và từ $N$ đến $P$ là bao nhiêu kilômét? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).