Bài 11. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $O$ là tâm của đáy và tất cả các cạnh bằng nhau.
a) Tìm góc giữa đường thẳng $SA$ và $(ABCD)$.
b) Tìm góc phẳng nhị diện $[A,SO,B]$; $[S,AB,O]$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh tất cả các cạnh là $a$ (đáy là hình vuông cạnh $a$, các cạnh bên $SA=SB=SC=SD=a$).

a) Góc giữa $SA$ và $(ABCD)$:
Vì $S.ABCD$ đều nên $SO\perp (ABCD)$ với $O$ là tâm đáy. Góc giữa $SA$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SAO}$.
Tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ với $AB=a$ nên $OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Tam giác $SOA$ vuông tại $O$: $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $\sin \widehat{SAO}=\frac{SO}{SA}=\frac{a\sqrt{2}/2}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{SAO}=45^{\circ }$.

b) Góc nhị diện $[A,SO,B]$:
Vì $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp AB$; lại có $AB\perp AC$ nên $AB\perp (SOA)$. Tương tự $AB\perp (SOB)$ (do $AB\perp BC$ và $SO\perp AB$).
Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SOA)$ và $(SOB)$ là $SO$, và $AB$ vuông góc với cả hai mặt phẳng tại $O$... chính xác hơn: góc giữa hai mặt phẳng $(SOA)$ và $(SOB)$ bằng góc giữa hai đường thẳng tương ứng vuông góc với giao tuyến, tức góc giữa $OA$ và $OB$ (cùng nằm trong đáy, cùng vuông góc với $SO$).
Vậy góc nhị diện $[A,SO,B]=\widehat{AOB}=90^{\circ }$ (vì $ABCD$ là hình vuông, hai đường chéo vuông góc).

Góc nhị diện $[S,AB,O]$:
Giao tuyến là $AB$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Vì $OA=OB$ nên $OH\perp AB$; vì $SA=SB$ nên $SH\perp AB$. Vậy góc nhị diện là $\widehat{SHO}$.
Tam giác $SOH$ vuông tại $O$ với $OH=\frac{a}{2}$, $SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$:
$$\tan \widehat{SHO}=\frac{SO}{OH}=\frac{a\sqrt{2}/2}{a/2}=\sqrt{2}\Rightarrow \widehat{SHO}=\arctan \sqrt{2}\approx 54^{\circ }44^{\prime }.$$

Kết luận: a) Góc giữa $SA$ và $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$; b) $[A,SO,B]=90^{\circ }$ và $[S,AB,O]=\arctan \sqrt{2}\approx 54^{\circ }44^{\prime }.$