Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá 255 số nguyên $y$ thỏa mãn ${\log }_3(x^2+y)\ge {\log }_2(x+y)$?

Điều kiện xác định: $x+y>0\iff y>-x$ (vì $x^2+y\ge x+y>0$). Xét hàm số $f(y)={\log }_3(x^2+y)-{\log }_2(x+y)$ trên khoảng $(-x;+\infty )$. Ta có $f^{\prime }(y)=\frac{1}{(x^2+y)\ln 3}-\frac{1}{(x+y)\ln 2}<0,\forall y>-x$ (do $(x+y)\ln 2<(x^2+y)\ln 3$). Hàm số $f(y)$ nghịch biến liên tục trên $(-x;+\infty )$. Do đó bất phương trình $f(y)\ge 0$ có các nghiệm nguyên là $y\in \{-x+1;-x+2;\dots \}$. Để có không quá 255 số nguyên $y$ thì số thứ 256 phải không thỏa mãn, tức là $f(-x+256)<0\iff {\log }_3(x^2-x+256)-{\log }_2(256)<0\iff {\log }_3(x^2-x+256)<8\iff x^2-x+256<3^8=6561\iff x^2-x-6305<0$. Giải bất phương trình ta được $-78,9\le x\le 79,9$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{-78;-77;\dots ;79\}$, tổng cộng có $79-(-78)+1=158$ số nguyên $x$. Chọn A.