Cho hàm số $f(x)$, đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong trong hình bên:

[IMAGE:q32-fig1.png]

Giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=f(2x)-2x^2+2x+5$ trên đoạn $[0;2]$ bằng

Ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(2x)-4x+2=2[f^{\prime }(2x)-(2x-1)]$.
Đặt $t=2x$, với $x\in [0;2]$ thì $t\in [0;4]$.
Xét phương trình $g^{\prime }(x)=0⟺f^{\prime }(t)=t-1$.
Vẽ đường thẳng $d:y=t-1$ trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị $y=f^{\prime }(t)$:
Đường thẳng đi qua $(0;-1)$, $(1;0)$, $(2;1)$, $(4;3)$.
Từ đồ thị, với $t\in (0;1)$ thì $f^{\prime }(t)>t-1⟹g^{\prime }(x)>0$.
Với $t\in (1;4)$ thì $f^{\prime }(t)<t-1⟹g^{\prime }(x)<0$.
Do đó hàm số $g(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[0;2]$ tại điểm ứng với $t=1⟺2x=1⟺x=\frac{1}{2}$.
Giá trị lớn nhất là: $g\left(\frac{1}{2}\right)=f(1)-2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2\left(\frac{1}{2}\right)+5=f(1)-\frac{1}{2}+1+5=f(1)+\frac{11}{2}$.