Cho $z_1,z_2$ là hai số phức thỏa mãn $|z_1+1|=|z_1+i|$, $|z_2-1-2i|=|z_2-2+i|$ và $|z_1-z_2|=3\sqrt{2}$. Khi $|z_2|$ đạt giá trị lớn nhất thì $|z_1|$ bằng

Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức $z_1,z_2$.
- Điểm $M(x;y)$ biểu diễn $z_1$: $|x+1+yi|=|x+(y+1)i|⟺(x+1{)}^2+y^2=x^2+(y+1{)}^2⟺2x=2y⟺x-y=0$.
Do đó $M$ thuộc đường thẳng $d_1:x-y=0$.
- Điểm $N(x;y)$ biểu diễn $z_2$: $|(x-1)+(y-2)i|=|(x-2)+(y+1)i|⟺(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=(x-2{)}^2+(y+1{)}^2⟺-2x-4y+5=-4x+2y+5⟺2x-6y=0⟺x-3y=0$.
Do đó $N$ thuộc đường thẳng $d_2:x-3y=0$.
- Ta có $MN=|z_1-z_2|=3\sqrt{2}$. Khi đó bài toán trở thành tìm vị trí của $M\in d_1,N\in d_2$ sao cho $MN=3\sqrt{2}$ và $ON=|z_2|$ đạt giá trị lớn nhất.
Khi $ON$ lớn nhất thì $OM=|z_1|=6\sqrt{2}$.