Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x;y)$ thoả mãn $0<x\le 2021$ và $3^x(x+1)=27^{y}y$?

Phương trình tương đương với: $3^x(x+1)=3^{3y}y$.
Nhân cả hai vế với 3 ta được: $3^{x+1}(x+1)=3^{3y}(3y)$.
Xét hàm số $f(t)=t\cdot 3^t$ trên $(0;+\infty )$. Ta có $f^{\prime }(t)=3^t+t\cdot 3^t\ln 3>0,\forall t>0$, nên $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Do đó: $f(x+1)=f(3y)⟺x+1=3y⟺y=\frac{x+1}{3}$.
Vì $y$ là số nguyên dương nên $x+1$ chia hết cho 3, tức $x\equiv 2(\mathrm{mod}3)$.
Lại có $0<x\le 2021$, do đó $x\in \{2;5;8;\dots ;2021\}$.
Số giá trị của $x$ thỏa mãn là: $\frac{2021-2}{3}+1=674$.
Mỗi giá trị của $x$ cho tương ứng đúng một giá trị nguyên dương $y$.
Vậy có tất cả 674 cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn.