Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in [-2021;2021]$ để phương trình $6^x-2m={\log }_{\sqrt[3]{6}}[18(x+1)+12m]$ có nghiệm?

Điều kiện $18(x+1)+12m>0⟺3(x+1)+2m>0$.
Phương trình đã cho viết lại thành:
$6^x-2m={\log }_{6^{1/3}}[6(3(x+1)+2m)]=3(1+{\log }_6(3x+3+2m))=3+3{\log }_6(3x+3+2m)$.
Đặt $t={\log }_6(3x+3+2m)⟹6^t=3x+3+2m⟹2m=6^t-3x-3$.
Thay vào phương trình:
$6^x-(6^t-3x-3)=3+3t⟺6^x+3x=6^t+3t$.
Xét hàm số $f(u)=6^u+3u$ có $f^{\prime }(u)=6^u\ln 6+3>0,\forall u⟹f(u)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $f(x)=f(t)⟺x=t$.
Khi $x=t$ ta có: $x={\log }_6(3x+3+2m)⟺6^x=3x+3+2m⟺2m=6^x-3x-3$.
Xét hàm số $g(x)=6^x-3x-3$ trên $\mathbb{R}$. Ta có $g^{\prime }(x)=6^x\ln 6-3=0⟺6^x=\frac{3}{\ln 6}⟺x_0={\log }_6\left(\frac{3}{\ln 6}\right)$.
Vì $\frac{3}{\ln 6}>1$ nên $x_0>0$.
Giá trị nhỏ nhất của $g(x)$ là $g(x_0)=\frac{3}{\ln 6}-3{\log }_6\left(\frac{3}{\ln 6}\right)-3\approx 1,674-3(0,287)-3\approx -2,187$.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $2m\ge \min g(x)\approx -2,187⟺m\ge -1,093$.
Kết hợp với điều kiện $m\in [-2021;2021]$ và $m\in \mathbb{Z}$:
$m\in \{-1;0;1;2;\dots ;2021\}$.
Số giá trị nguyên của $m$ là: $2021-(-1)+1=2023$.