Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $S(7;8;6)$ và $P(-5;-4;0)$. Xét khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ nội tiếp trong mặt cầu đường kính $SP$. Khi khối chóp $S.ABCD$ có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng $(ABCD)$ có phương trình $2x+by+cz+d=0$. Giá trị $b+c+d$ bằng

Tâm mặt cầu $I$ là trung điểm của $SP⟹I(1;2;3)$.
Bán kính mặt cầu: $R=\frac{1}{2}SP=\frac{1}{2}\sqrt{(-12{)}^2+(-12{)}^2+(-6{)}^2}=\frac{1}{2}\cdot 18=9$.
Gọi $h$ là chiều cao của hình chóp $S.ABCD$ ($0<h<2R$).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy hình vuông là $r=\sqrt{R^2-(h-R{)}^2}=\sqrt{2Rh-h^2}$.
Diện tích đáy $S_{ABCD}=2r^2=2(2Rh-h^2)$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{2}{3}h(2Rh-h^2)=\frac{2}{3}{h}^2(2R-h)=\frac{8}{3}\cdot \frac{h}{2}\cdot \frac{h}{2}\cdot (2R-h)$.
Theo BĐT AM-GM: $\frac{h}{2}\cdot \frac{h}{2}\cdot (2R-h)\le {\left(\frac{h/2+h/2+2R-h}{3}\right)}^3={\left(\frac{2R}{3}\right)}^3$.
Đẳng thức xảy ra khi $\frac{h}{2}=2R-h⟺h=\frac{4R}{3}=\frac{4\cdot 9}{3}=12$.
Do $h=12>R=9$ nên mặt phẳng đáy $(ABCD)$ vuông góc với trục $SP$ và tâm đáy $H$ thỏa mãn $\overrightarrow{SH}=\frac{h}{2R}\overrightarrow{SP}=\frac{12}{18}\overrightarrow{SP}=\frac{2}{3}(-12;-12;-6)=(-8;-8;-4)$.
Suy ra tọa độ tâm đáy $H=S+\overrightarrow{SH}=(7-8;8-8;6-4)=(-1;0;2)$.
Mặt phẳng $(ABCD)$ vuông góc với $\overrightarrow{SP}=-6(2;2;1)$ nên nhận $\vec{n}=(2;2;1)$ làm VTPT.
Phương trình mặt phẳng $(ABCD)$ là:
$2(x+1)+2(y-0)+1(z-2)=0⟺2x+2y+z=0$.
Đối chiếu với dạng $2x+by+cz+d=0$, ta có $b=2,c=1,d=0$.
Vậy $b+c+d=2+1+0=3$.