Với hai số phức $z_1,z_2$ thay đổi thỏa mãn $|z_1+1-2i|=|z_1-5+2i|$ và $|z_2+3-2i|=2$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z_1+3+i|+|z_1-z_2|$ bằng

Tập hợp các điểm $M$ biểu diễn $z_1$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối $(-1;2)$ và $(5;-2)$:
$d:3x-2y-6=0$.
Tập hợp các điểm $N$ biểu diễn $z_2$ là đường tròn $(C)$ tâm $I(-3;2)$ bán kính $R=2$.
Điểm $A(-3;-1)$.
Ta có $P=MA+MN\ge MA+MI-R$.
Lấy điểm $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua $d$, ta có $MA=M{A}^{\prime }$, do đó $MA+MI\ge A^{\prime }I$.
Tính khoảng cách $A^{\prime }I=\sqrt{85}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\sqrt{85}-2$.