Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$ và đi qua điểm $A(0;4;1)$. Xét khối nón $(N)$ có đỉnh $A$ và nội tiếp trong khối cầu $(S)$. Khi diện tích xung quanh của hình nón $(N)$ lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $(N)$ có phương trình dạng $-x+by+cz+d=0$. Giá trị của $b+c+2d$ bằng

Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính $r$ vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đều tiếp xúc với các đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối trụ là $120{\text{ cm}}^3$, thể tích mỗi khối cầu bằng
[IMAGE:img_q34_stem]

Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính $r$ vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đều tiếp xúc với đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Biết diện tích xung quanh của hình trụ là $72\pi$, thể tích của mỗi khối cầu là (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Cho hai mặt cầu $(S_1):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=9$, $(S_2):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=4$ và điểm $A(3;-1;2)$. Gọi $(N)$ là hình nón sinh bởi các tiếp tuyến kẻ từ $A$ đến $(S_2)$ và $H$ là tâm đường tròn đáy của $(N)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và cắt mặt cầu $(S_2)$ theo thiết diện là đường tròn $(C)$. Giả sử mặt cầu chứa $(C)$ và đi qua $H$ tiếp xúc với mặt cầu $(S_1)$. Khi đó, bán kính của đường tròn $(C)$ bằng

Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình cầu có bán kính bằng $9$. Tính thể tích $V$ của khối chóp có thể tích lớn nhất.

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$, $AB=a$, $\widehat{BAC}=120^{\circ }$, $A{A}^{\prime }=2a$. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh bằng $3a$. Xét một mặt cầu $(C)$ chứa đường tròn đáy của hình nón đồng thời tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón đó. Diện tích của mặt cầu $(C)$ bằng