Câu 88. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên R. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là một parabol có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, $f^{\prime }(x)=x^2-4$ (parabol hướng lên, cắt trục hoành tại $x=\pm 2$, $f^{\prime }(0)=-4$). Dấu của $f^{\prime }$: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$ hoặc $x>2$; $f^{\prime }(x)<0$ khi $-2<x<2$.

a) $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-2$ (từ + sang −) và tại $x=2$ (từ − sang +), nên $f$ có hai điểm cực trị. Đúng.

b) Trên $(-\infty ,-2)$: $f^{\prime }>0$; trên $(-2,2)$: $f^{\prime }<0$, nên $f$ đạt cực đại tại $x=-2$. Đúng.

c) $y=f(2x+4)\Rightarrow y^{\prime }=2f^{\prime }(2x+4)$. $y^{\prime }=0\iff 2x+4=\pm 2\iff x=-3$ hoặc $x=-1$. Cực đại khi $2x+4=-2\iff x=-3$ (vì khi đó $f^{\prime }$ đổi dấu + sang −). Tại $x=0$: $2x+4=4$, $f^{\prime }(4)>0$ nên không cực trị. Sai.

d) $y=f(x^2-2)\Rightarrow y^{\prime }=2x{f}^{\prime }(x^2-2)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x^2-2=\pm 2\iff x=\pm 2$. Xét dấu: với $|x|>2$ thì $x^2-2>2$ nên $f^{\prime }>0$, $y^{\prime }$ cùng dấu $x$: $y^{\prime }>0$ khi $x<-2$, $y^{\prime }>0$ khi $x>2$; với $0<|x|<2$ thì $f^{\prime }<0$: $y^{\prime }<0$ khi $-2<x<0$... cụ thể: $x<-2$: $y^{\prime }>0$; $-2<x<0$: $2x<0$, $f^{\prime }<0$ nên $y^{\prime }>0$? Kiểm tra lại: với $-2<x<0$, $x^2\in (0,4)$, $x^2-2\in (-2,2)$, $f^{\prime }<0$, $2x<0$ nên $y^{\prime }>0$. Với $0<x<2$: $2x>0$, $f^{\prime }<0$ nên $y^{\prime }<0$. Vậy: $x<-2$: $y^{\prime }>0$; $-2<x<0$: $y^{\prime }>0$ — tại $x=-2$ không đổi dấu? Xét kỹ hơn: với $x<-2$, $x^2-2>2$, $f^{\prime }>0$, $2x<0$ nên $y^{\prime }<0$. Sửa: $x<-2$: $y^{\prime }<0$; $-2<x<0$: $y^{\prime }>0$ (đổi dấu − sang +: cực tiểu tại $x=-2$); $0<x<2$: $y^{\prime }<0$ (đổi dấu + sang −: cực đại tại $x=0$); $x>2$: $y^{\prime }>0$ (đổi dấu − sang +: cực tiểu tại $x=2$). Vậy hàm số có ba điểm cực trị: $x=-2,0,2$. Đúng.

Kết luận: a đúng, b đúng, c sai, d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x^2-4$ đổi dấu tại $x=-2$ (từ + sang −) và $x=2$ (từ − sang +), nên $f$ có hai điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }>0$ trên $(-\infty ,-2)$ và $f^{\prime }<0$ trên $(-2,2)$, nên $f$ đạt cực đại tại $x=-2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2f^{\prime }(2x+4)=0\iff x=-3$ hoặc $x=-1$; cực đại tại $x=-3$ (khi $2x+4=-2$). Tại $x=0$ thì $2x+4=4$, $f^{\prime }(4)>0$, không phải cực đại.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2x{f}^{\prime }(x^2-2)=0$ tại $x=0,\pm 2$. Dấu của $y^{\prime }$: âm với $x<-2$, dương với $-2<x<0$, âm với $0<x<2$, dương với $x>2$. Vậy có ba điểm cực trị: cực tiểu tại $x=\pm 2$, cực đại tại $x=0$.