Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ. Hỏi trên khoảng $(0;2\pi )$ hàm số $g(x)=2f\left(\frac{5\sin x-1}{2}\right)+\frac{(5\sin x-1{)}^2}{4}+3$ có bao nhiêu điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\frac{5\sin x-1}{2}$, khi đó $t\in [-3;2]$ và $g^{\prime }(x)=\frac{5\cos x}{2}[f^{\prime }(t)+t]$. Xét $h(t)=f^{\prime }(t)+t$ trên $[-3;2]$. Từ đồ thị: $f^{\prime }(-1)=1$ (cực đại), $f^{\prime }(1)=-1$ (cực tiểu), $f^{\prime }(0)\approx -\frac{1}{3}<0$, $f^{\prime }(-3)\approx 2$, $f^{\prime }(2)\approx 2$. Ta có $h(-1)=1-1=0$ và $h^{\prime }(-1)=f^{\prime \prime }(-1)+1=1>0$ nên $h$ đổi dấu từ âm sang dương tại $t=-1$; vì $h(0)=f^{\prime }(0)<0$ nên $h$ có thêm một nghiệm $t_2\in (-1;0)$ (đổi dấu + sang −); $h(1)=-1+1=0$ với $h(0)<0,h(2)>0$ nên đổi dấu tại $t=1$. Trên khoảng $(-3;-1)$: $f^{\prime }(t)\ge 0,5$ và $t<-1$ nên $h(t)<0$, không có nghiệm thêm. Vậy $h(t)=0$ có 3 nghiệm phân biệt, mỗi nghiệm $t$ cho $\sin x=\frac{2t+1}{5}\in (-1;1)$ nên có 2 nghiệm $x$ trong $(0;2\pi )$: được $3\times 2=6$ điểm. Ngoài ra $\cos x=0$ cho $x=\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$; tại đó $t=2$ hoặc $t=-3$ và $h(2)\approx 4\ne 0$, $h(-3)\approx -1\ne 0$ nên đây cũng là điểm cực trị: thêm 2 điểm. Tổng cộng $6+2=8$ điểm cực trị.